相含率在线计算器 Maxwell / Bruggeman 混合规则 · 双向换算

原理与公式

多相混合物的等效介电常数 / 电导率取决于两相各自的物性、体积分数（相含率）以及分散相的几何形态。 「混合规则」在简化几何假设下给出等效物性的解析表达式——本页实现其中两个经典模型。 两种物性在准静态近似下满足同一形式的方程，因此εr（无量纲）和 σ（S/m）共用同一套公式。

Maxwell 混合规则（液滴分散模型）

假设分散相以球形液滴孤立地分散在连续相基体中，液滴之间互不影响。适合分散相浓度较低（工程上一般认为 α ≲ 0.3）的情形， 也是 ECT / ERT 数据解释中最常用的模型。

反向求解（由 σ_m 得 α）是关于 α 的一次式：

Bruggeman 混合规则（对称有效介质近似）

两相地位对等，各自以自身的体积分数嵌入「有效介质」中自洽求解。没有明确的「连续相」假设， 在较高相含率下比 Maxwell 更稳健，常用于气泡/液滴密集的流动形态。

对 σ_m 展开是一元二次方程，物理解（正根）为：

反向求解时，方程对 α 是线性的，可以直接解出，无需迭代。

结果的物理边界

无论几何形态如何，混合物等效物性一定落在两相物性之间，其包络是 Wiener 边界： 下界为沿场分层的串联极限（$\frac{1}{\sigma_m} = \frac{1-\alpha}{\sigma_c} + \frac{\alpha}{\sigma_d}$）， 上界为垂直场分层的并联极限（$\sigma_m = (1-\alpha)\,\sigma_c + \alpha\,\sigma_d$）。 真实系统的结果总是落在两条边界之间，Maxwell 与 Bruggeman 给出的是两种典型几何假设下的具体位置。

使用须知

• 几何假设：两个模型都假设分散相为球形；气泡/液滴变形、团聚或形成连续网络时会有系统偏差。
• 准静态条件：电导率公式忽略界面极化与双电层效应——低频 ERT 测量中电极极化可能显著改变等效电导率，请结合测量频段评估。
• 反演的病态性：两相物性对比度大时（如油/水），σ_m 在大部分区间对 α 的敏感度很低，测量误差会被显著放大——这是电容/电阻传感器的共性约束，不是本页计算的问题。
• 多相扩展：本页只处理两相混合。气液固三相、或需要按流型分段的解释方法，请参考技术笔记或联系我们讨论。

典型应用

• ECT 系统选型前的敏感性估算：给定油/水介电常数与预期相含率范围，预估电容变化幅度
• ERT 测量的含水率标定：由标定曲线反演体积含水率
• 教学中对比两种混合规则在高相含率端的分歧，理解「混合规则不是物理定律，而是几何假设」